П'єр де Ферма(1601 – 1665) – французький математик, один із творців аналітичної геометрії, математичного аналізу, теорії ймовірностей та теорії чисел. За професією юрист, з 1631 року – радник парламенту в Тулузі. Блискучий поліглот. Найбільш відомий формулюванням Великої теореми Ферма.
П'єр Ферма отримав юридична освіта. У коледжі він набув гарного знання мов: латинської, грецької, іспанської, італійської, французької. Успішно закінчивши навчання, Ферма викупив посаду королівського радника парламенту (тобто члена вищого суду) у Тулузі. Швидке службове зростання дозволило Ферма стати членом Палати едиктів у місті Кастр (1648). Саме цій посаді він зобов'язаний додаванням до свого імені ознаки знатності – частки de; відтоді він стає П'єром де Ферма.
Робота радником парламенту міста Тулузи не заважала Ферма займатися математикою. Поступово він набув слави одного з перших математиків Франції, хоч і не писав книг (наукових журналів ще не було), обмежуючись лише листами до колег. Відкриття Ферма дійшли до нас завдяки збірці його великого листування (переважно через Мерсенна), виданого посмертно сином Ферма. На відміну від Галілея, Декарта та Ньютона, Ферма був чистим математиком – першим великим математиком нової Європи. Незалежно від Декарта, він створив аналітичну геометрію. Раніше Ньютона умів використовувати диференціальні методи щодо дотичних, знаходження максимумів і обчислення площ. Щоправда, Ферма, на відміну Ньютона, не звів ці методи у систему, проте Ньютон пізніше зізнавався, що саме роботи Ферма підштовхнули його до створення аналізу. Але головна заслуга Ферма – створення теорії чисел.
Математики Стародавню Греціюз часів Піфагора збирали та доводили різноманітні твердження, що стосуються натуральних чисел (наприклад, методи побудови всіх піфагорових трійок, метод побудови досконалих чисел тощо). Діофант Олександрійський (III століття н. е.) у своїй «Арифметиці» розглядав численні завдання про розв'язання в раціональних числах рівнянь алгебри з кількома невідомими (нині рівняння, які потрібно вирішити в цілих числах, називаються діофантовими). Ця книга (щоправда, не повністю) стала відома в Європі в XVI столітті, а в 1621 вона була видана у Франції і стала настільною книгою Ферма. Він постійно цікавився арифметичними завданнями, обмінювався складними завданнями із сучасниками. Наприклад, у своєму листі, який отримав назву «Другого виклику математикам» (лютий 1657), він запропонував знайти загальне правилорішення рівняння Пелля у цілих числах. (Рівняння Пелля - діофантове рівняння виду: де n- натуральне число, яке не є квадратом). У листі Ферма пропонував знайти рішення для низки приватних значень n. Повне вирішення завдання Ферма було знайдено лише за сто років Ейлером. Почав Ферма із завдань про магічні квадрати та куби, але поступово переключився на закономірності натуральних чисел – арифметичні теореми. Ферма розробив спосіб систематичного знаходження всіх дільників числа, сформулював теорему про можливість уявлення довільного числа сумою трохи більше чотирьох квадратів (теорема Лагранжа про суму чотирьох квадратів).
Ферма став широко відомий завдяки так званій Великій теоремі Ферма: Для будь-якого натурального числа n> 2 діофантове рівняння не має натуральних рішень x, yі z.
Теорема була сформульована Ферма у 1637 році, на полях книги «Арифметика» Діофанта з припискою, що знайдений ним дотепний доказ цієї теореми надто довгий, щоб привести його на полях. Найімовірніше, його доказ був вірним, оскільки пізніше він опублікував доказ лише випадку n= 4. Велика теорема Ферма чекала на своє рішення більше 350 років! Доказ було знайдено лише у 1994 році англійським математиком Ендрю Уайлсом після 8 років напруженої роботи, містить 129 сторінок та опубліковано у журналі «Annals of Mathematics» у 1995 році. Простота формулювання цієї теореми залучила багато математиків-аматорів, про ферматистів. Навіть після рішення Уайлса у всі академії наук світу продовжують йти листи з доказами Великої теореми Ферма.
Багато арифметичних відкриття Ферма випередили час і були забуті на 70 років, поки ними не зацікавився Ейлер, який опублікував систематичну теорію чисел. Одна з причин цього - інтереси більшості математиків перейшли на математичний аналіз.
В галузі математичного аналізу Ферма практично за сучасними правилами знаходив дотичні до кривих алгебри. Саме це підштовхнули Ньютона до створення аналізу. У підручниках з математичного аналізу можна знайти важливу лему Ферма, або необхідна ознака екстремуму: у точках екстремуму похідна функції дорівнює нулю.
Ферма сформулював загальний закон диференціювання дробових ступенів та поширив формулу інтегрування ступеня на випадки дробових та негативних показників. Поряд з Декартом Ферма вважається засновником аналітичної геометрії. У роботі «Вступ до теорії плоских і просторових місць», що стала відомою 1636 року, він провів класифікацію кривих залежно від порядку їх рівняння, встановив, що рівняння першого порядку визначає пряму, а рівняння другого порядку - конічний перетин. Розвиваючи ці ідеї, Ферма пішов далі за Декарта і застосував аналітичну геометрію до простору.
Незалежно від Паскаля Ферма розробив основу теорії ймовірностей. Саме з листування Ферма і Паскаля (1654), в якому вони, зокрема, дійшли поняття математичного очікування і теорем складання та множення ймовірностей, відраховує свою історію ця чудова наука. В 1660 планувалася його зустріч з Паскалем, але через погане здоров'я обох учених зустріч не відбулася. Результати Ферма і Паскаля були наведені в книзі Гюйгенса «Про розрахунки в азартній грі» (1657), першому посібнику з теорії ймовірностей.
Ім'я Ферма носить основний принцип геометричної оптики, внаслідок якого світло в неоднорідному середовищі вибирає шлях, що займає найменший час (втім, Ферма вважав, що швидкість світла нескінченна, і формулював принцип туманніше). З цієї тези починається історія головного закону фізики – принципу найменшої дії.
Ферма переніс на тривимірний випадок (внутрішнього торкання сфер) алгоритм Вієта для завдання Аполлонія (доторкання кіл).
П'єр де Ферма помер 12 січня 1665 року у місті Кастр, під час виїзної сесії суду. Спочатку його поховали там же, в Кастрі, але пізніше (1675) порох перенесли до сімейної усипальниці Ферма, у церкві августинців у Тулузі. Старший син Ферма видав посмертні збори його праць, з яких сучасники і дізналися про чудові відкриття П'єра Ферма. Сучасники характеризували Ферма як чесну, акуратну, врівноважену і привітну людину, блискуче ерудовану як у математиці, так і в гуманітарних науках, знавця давніх і живих мов. Латинською, французькою та іспанською мовами він писав непогані вірші.
Рівно 350 років тому у Франції помер математик П'єр де Ферма, який усе життя пропрацював у судах. Він прославився як творець Великої теореми, на пошуки доказу якої пішло понад 300 років.
"Формула аⁿ + bⁿ = cⁿ не має не дробових рішень для n > 2", - це і є формулювання однієї з найзнаменитіших математичних теорем, більш відомої як Велика теорема Ферма (нерідко її називають Остання теорема Ферма). Француз П'єр Ферма сформулював її в 1637 році, за минулий час теорема набула широкої популярності не тільки серед учених, а й у масовій культурі.
Але про все по порядку. Про життя П'єра Ферма відомо небагато. Він народився 17 серпня 1601 року в невеликому містіБомон-де-Ломань у сім'ї заможного торговця, другого міського консула Домініка Ферма та Клер де Лонг, яка походила із сім'ї юристів. Своїм дітям, а їх у сім'ї було четверо – два хлопчики та дві дівчинки, люблячий батько Домінік дав гарну освіту. П'єр закінчив коледж у рідному місті, а потім навчався у Тулузі, Бордо та Орлеані, де здобув ступінь бакалавра. Справжньою пристрастю П'єра Ферма все життя залишалася математика, але через різні обставини вчені на той час не могли повністю присвятити себе улюбленій науці, і як професію майбутній творець Великої теореми обрав юриспруденцію.
У 1630 році П'єр Ферма поселяється в Тулузі, де обіймає посаду радника парламенту, тобто вищого суду. Того ж року він одружується з дальньою родичкою своєї матері Луїзе де Лонг. Сучасники відзначали його чесність і акуратність, він "славився як один з кращих юристів свого часу", що дозволило йому в 1648 стати членом Палати едиктів у місті Кастр і додати до свого імені частинку де - ознака знатності.
Крім видатних заслуг як юрист П'єр Ферма був відомий і як поліглот і знавець античності - ще в коледжі він опанував кількома іноземними мовами, згодом писав вірші французькою, латинською та іспанською, а також консультував видавців праць древніх греків.
І все ж таки широку популярність П'єр Ферма отримав як учений. Він займався математикою не за обов'язком служби, а просто тому, що любив її. Цікаві йому були її закономірності та загадки. Визнаним є його внесок у розвиток аналітичної геометрії та математичного аналізу.
Однією з перших математичних робіт П'єра Ферма стала спроба відновлення за згадками, що збереглися, втраченого трактату давньогрецького математика Аполлонія "Плоскі місця".
Ферма першим застосовує буквену алгебру до завдань геометрії, вводить в аналітичну геометрію поняття нескінченно малої величини, пропонує методи знаходження екстремумів та проведення дотичних до довільних кривих, метод обчислення площ, обмежених будь-якими "параболами" та будь-якими "гіперболами", показує, що площа необмеженої фігур може бути кінцевим. Він першим зайнявся проблемою обчислення довжини дуг кривих (завдання спрямування кривих) і звів це завдання до обчислення площ.
За деякими даними, П'єр Ферма бачив взаємно зворотний зв'язок між методами визначення площ та знаходження дотичних, і був в одному кроці від поняття "інтеграл", проте не став цей напрямок розвивати. Вже після смерті Ферма "завдання на площі" та "завдання на дотичні" пов'язали Ньютон і Лейбніц, яким належить право бути основоположниками диференціального та інтегрального обчислень. Ньютон зізнавався, що роботи Ферма мали для нього велике значення і підштовхнули до розвідок у цьому напрямі.
У той час ще не було наукових журналів, що регулярно виходили, тому велике значення у поширенні та обговоренні наукових ідеймала особисте листування вчених. Ферма вів велике листування з Декартом, батьком і сином Паскалями, Гюйгенсом, Торрічеллі, де Бессі, Валлісом - найбільшими математиками того часу - або безпосередньо, або через Марена Мерсенна - богослова і математика, свого роду координатора наукової думки, який займався розмноженням листів і рукописів серед вчених, які цікавилися близькими до обговорюваних питань. В даний час Мерсен відомий в основному як дослідник чисел виду 2n - 1 ("чисел Мерсенна"), що відіграють важливу роль у теорії чисел та криптографії.
Ферма закінчив кілька наукових трактатів, проте жоден з них не був опублікований за його життя. Проте вони стали відомі в рукописах у колі математиків. Зокрема, в 1636 році Ферма закінчив роботу "Вступ до теорії плоских та просторових місць", де вперше були класифіковані криві залежно від порядку рівняння.
Сьогодні навіть школярам, які вивчають початки математичного аналізу, відомо, що похідна функції в точці екстремуму, максимуму чи мінімуму дорівнює нулю. І хоча поняття "похідна" тоді ще не існувало, саме про це свідчить лема Ферма.
Робота "Метод відшукання максимумів і мінімумів", передана Мерсенну в 1636, була розкритикована Декартом. Ферма ж, вступивши в полеміку, відповідав своєму опонентові спокійно і стримано, хоч і не без іронії, докладніше пояснюючи суть свого методу, що характеризує його як людину та вченого.
П'єр Ферма стояв біля витоків галузі математики, званої зараз теорією ймовірностей. У листуванні Ферма з Блезом Паскалем було визначено поняття математичного очікування, сформульовані теореми складання та множення ймовірностей. Результати цих обговорень наведено в роботі Християна Гюйгенса "Про розрахунки в азартній грі" (1657).
Проте головною заслугою Ферма з права вважається створення теорії чисел. Ні його сучасники, ні математики пізнішого часу аж до Леонарда Ейлера, який жив у XVIII столітті, не розуміли значення порушених ним проблем.
Вивченням властивостей цілих чисел П'єр Ферма зайнявся в 40-ті роки. 18 жовтня 1640 року у листі до французького математика Бернара Френікля П'єр Ферма сформулював таку теорему: якщо число a не ділиться на просте число p, то (аp-1-1) ділиться на р. Твердження це, що отримало назву Малої теореми Ферма, було залишено Ферма без доказу. Пізніше вона була доведена та узагальнена Леонардом Ейлером, швейцарським, німецьким та російським математиком. Тут варто відзначити, що вчений любив не тільки створювати нові теореми, а й піддражнювати своїх сучасників, пропонуючи їм знайти докази.
З усієї спадщини античності і нас дійшли дві книги, присвячені питанням теорії чисел - "Початку" Евкліда та "Арифметика" Діофанта. Друга книга довгий час була невідома, лише у XVI столітті вона була виявлена у бібліотеці Ватикану, причому не повністю. Вона була присвячена вирішенню невизначених рівнянь у раціональних числах. Теорем, у розумінні слова, книга не містила.
Саме ця книга, видана Франції на початку XVII століття, стала настільною книгою Ферма. Саме на її полях у 1637 році П'єр Ферма зробив ті самі знамениті нотатки, які стали Великою теоремою його імені: навпроти завдання давньогрецького математика: "Розділити квадратне число на два інші квадратні числа", Ферма написав: "Навпаки, неможливо розкласти ні куб на два куба, ні біквадрат на два біквадрати і взагалі ні в який ступінь, більший за квадрат, на два ступеня з тим же показником.Я відкрив цьому воістину чудовий доказ, але ці поля йому занадто вузькі".
Саме з цієї замітки починається дивовижна доля найпопулярнішої теореми у світі, що важко доводиться. Дивовижна вона хоча б тому, що теорема без доказу є гіпотезою, проте на цей час за Ферма вже закріпилася слава людини, яка ніколи не помиляється. До того ж він залишив доказ теореми для четвертих ступенів, застосувавши "метод невизначеного або нескінченного спуску", за допомогою якого в 1770 теорему для випадку n = 3 довів Леонард Ейлер. Через півстоліття німецький математик Йоган Діріхле спільно з французом Адрієном Марі Лежандром довів Велику теорему для окремого випадку n = 5, а в 1839 Габріель Ламе - для n = 7. Наприкінці 30-х - початку 40-х років XVIII століття німецький математик Едуард Куммер знайшов доказ для всіх простих чисел менше 100.
Численні дослідження математиків призвели до побудови нових теорій в арифметиці чисел алгебри. А популярність теореми призвела до того, що її доказ намагалися шукати не тільки вчені, а й дилетанти. І тих, і інших почали називати "ферматистами".
У 1908 році математик-аматор Пауль Вольфскель оголосив про нагороду в 100 тисяч німецьких марок першій людині, яка протягом 100 років доведе Велику теорему Ферма. Після Першої світової війни заповідана сума знецінилася, втім, до цього часу професійні математики відмовлялися витрачати свій час на пошуки доказу, оскільки вважали це справою безнадійною, проте серед любителів це стало певною мірою модою. У 1972 році журнал "Квант" навіть попередив своїх читачів, що "листи з проектами доказів теореми Ферма розглядатися (і повертатися) не будуть", а німецький учений Едмунд Ландау доручив своїм аспірантам знаходити помилки у надісланих йому роботах "ферматистів" та надсилати їх авторам лист наступного змісту: "Дякую Вам за надісланий Вами рукопис з доказом Великої теореми Ферма. Перша помилка знаходиться на стор. … у рядку …"
І все-таки повний доказ було знайдено! Дав його в 1995 році, через три з половиною століття після того, як теорема була сформульована, англійський та американський математик Ендрю Джон Уайлс. Вперше Уайлз дізнався про існування теореми Ферма у десятирічному віці. Після того, як перша спроба знайти доказ провалилася, він перейшов на вивчення праць вчених-"ферматистів", вивчав математику і повернувся до теореми через роки. Сім років наполегливої роботи в обстановці абсолютної секретності принесли свої плоди - в 1993 він вперше представив світові свій доказ Великої теореми Ферма. Однак доказ вимагав серйозної перевірки, в результаті якої було виявлено грубу помилку, хоча експерти зійшлися на думці, що в цілому рішення є вірним. Уайлс, який з дитинства вважав пошук доказу Великої теореми Ферма справою свого життя, закликав на допомогу фахівця в теорії чисел Річарда Тейлора, і вже через рік вони опублікували виправлений і доповнений доказ. Рішення загальним обсягом 130 сторінок було опубліковано в журналі Annals of Mathematics у травні 1995 року. А в 1997 році Уайлс отримав 50 тисяч доларів як премію Вольфскеля. З цього часу Велика теорема Ферма офіційно вважається доведеною.
Тим часом сам П'єр Ферма не залишив жодної спадщини. Довгі рокивін працював над зібранням творів, проте напружена робота у суді, мабуть, завадила йому здійснити задумане. В 1679 перші збори праць Ферма випустив і опублікував старший син вченого Самюель.
Помер П'єр Ферма 12 січня 1665 року під час виїзної сесії суду у місті Кастр, через 10 років прах його було перенесено до сімейної усипальниці Ферма у Тулузі.
Ірина Кравцова. TVC.RU
(1601-1665) французький математик
П'єр Ферма народився у серпні 1601 року на півдні Франції у сім'ї помічника мера містечка Бомон-де-Ломань. Мати П'єра, уроджена Клер де Лонг, була із сім'ї юристів.
Домінік Ферма, отець П'єра, вважав, що синові треба дати гарну гуманітарну освіту. І він не помилився: П'єр справді мав визначні здібності до гуманітарних дисциплін. Згодом до нього зверталися як до знавця античної культури, щоб з'ясувати ті чи інші питання, що виникали під час видання античних класиків. Він був визнаним авторитетом у грецькій філології. Але слава до нього прийшла як до великого математика.
У коледжі П'єр виявив здібності до вивчення мов. Італійською та латинською, грецькою та іспанською він володів настільки вільно, що писав на них вірші.
Отже, П'єр Ферма навчався спочатку у рідному місті у францисканців, а продовжив освіту в Тулузі, університеті. Вибір юридичного факультету був несподіванкою, оскільки його дідусь був юристом і взагалі професія юриста була дуже престижною.
Прекрасна гуманітарна освіта, знання мов призводять Ферма до вивчення давніх авторів, і, нарешті, виникає неослабний інтерес до математики, якій він присвячує весь вільний час. Його роботи з математики були відомі сучасним вченим. У той же час, за життя Ферма майже не друкувався. Наукові контакти існували як листування між математиками. У ній ставилися завдання, розповідалося про їх вирішення, обговорювалися проблеми, виникали суперечки та навіть з'ясовувалися стосунки. Ферма листувався з найбільшими математиками на той час - Декартом, Паскалем, Френіклем де Бюссі, Гюйгенсом, Торрічеллі, Валлісом. Своєрідним центром листування був паризький абат Мерсен. Найчастіше лист приходив до Мерсенну, він розмножував його і посилав математикам, яких цікавили ці проблеми.
У 1629 році Ферма виконав роботу, яка вимагає і знання філології, і математичного таланту. Він відновив перебіг міркувань і доказів Аполлонія з латинського перекладу математичних робіт Паппа. Справа в тому, що роботи багатьох великих математиків античності, наприклад, грецького математика Аполлонія (260-170 рр. до н. е.), відомі науці завдяки переказу їх Паппом (III століття н. е.).
П'єр Ферма працював у багатьох галузях математики. Він створив теорію чисел, залишив велику теорему Ферма: діо-фантове рівняння х" + у" = г", де п - ціле число, більше двох, не має рішень у цілих позитивних числах.
Твори Діофанта (III ст) були видані в XVI столітті. Грецький текст «Арифметики» Діофанта з латинським перекладом видав Баше де Мезіріан 1621 року. Один екземпляр цього перекладу виявився у П'єра Ферма, і цей екземпляр, який згодом став знаменитим, викликав величезну кількість толків і пересудів. П'єр Ферма читав «Арифметику» Діофанта та на полях книги робив свої зауваження. Проти одного із завдань Діофанта він написав на полях книги: «Куб, однак, на два куби, або квадрат квадрат на два квадрат квадрата і взагалі ніякий до нескінченності понад квадрат ступінь у дві назви неможливо розділити». Лише ця фраза зробила ім'я Ферма безсмертним.
Інший великий, але вже сучасний математик, найавторитетніший у світі, був головою комісії з присудження великої міжнародної премії (щоправда, була анульована наприкінці Першої світової війни) за доказ великої теореми Ферма. Це Д. Гільберт (1862–1943).
Крім великої теореми Ферма в теорії чисел, французький математик досяг чудових результатів в аналітичній геометрії, в аналізі при знаходженні максимумів і мінімумів, в невизначених рівняннях. Чудові результати отримав він і теоретично ймовірностей. Три великі імені стоять біля витоків цієї науки майбутнього – теорії ймовірностей: Паскаль, Ферма, Гюйгенс. Чудова робота вченого у геометричній оптиці, де є «принцип Ферма», або «принцип найменшої дії».
Математичне творчість не заважало роботі Ферма. Спочатку йому приносила прибуток адвокатська практика, яка проходила дуже успішно, потім він переходить на державну службу до касаційної палати Тулузького парламенту на посаду чиновника з прийому скарг. У Франції міські судові органи грали ключову роль життя суспільства і називалися парламентами. У тому ж 1631 року, коли П'єр Ферма вступив працювати у Тулузький парламент, він одружився з Луїзі де Лонг, дочки радника цього ж парламенту. Зауважимо також, що його дружина була двоюрідною братом матері П'єра. У них було п'ятеро дітей - троє синів і дві дочки. Старший, Самюель-Клемент, був доктором права та адвокатом. Як і батько, він окрім служби займався творчістю. Молодший син Клер також вибрав юридичну освіту, середній, Жан - духовну кар'єру, а дочки прийняли чернецтво.
На роботі П'єр Ферма мав авторитет дуже чесної людини, ерудованого юриста. Цікаво, що найвищим чиновникам парламенту пропонувалося уникати зайвого спілкування, щоб не давати приводу для пліток та пересудів. Ось і вийшло, що Ферма вів вельми замкнутий, відокремлений спосіб життя, приходив зі служби та сідав за письмовий стіл. Так він працював на одному місці 34 роки. На службі – радник слідчої палати, юрист та знавець права, непідкупний, сумлінний та чесний чиновник, будинки за письмовим столом – великий математик. Помер П'єр Ферма під час однієї із службових поїздок 12 січня 1665 року.
Світ дізнався про творчий спадок великого математика після видання його листів, математичних робіт, книги Діофанта з його зауваженнями. Видав усе це його старший син Самюель Клемент.
Ферма П'єр (1601–1665), французький математик.
Народився 17 серпня 1601 р. у Бомон-де-Ломань, у ній міського радника, котрий займався торгівлею. Навчався у Тулузі у місцевому університеті. Здобувши юридичну освіту, в 1631 р. Ферма вступає на державну службу в касаційну палату Тулузького парламенту (судовий орган). Спочатку він був уповноваженим щодо прийому прохань, а з 1648 р. підвищений до звання радника.
Одружився з дальньою родичкою з материнського боку - Луїзі де-Лонг (1631 р.). З п'ятьох дітей, що народилися в сім'ї, відомий старший син Самюель, який у 1679 р. видав перші збори творів свого батька.
Наукові інтереси Ферма стосувалися багатьох областей. Вивчивши кілька мов, він захоплювався поезією, коментував давніх авторів, досліджував оптичні явища. Протягом усього життя вів велике листування з багатьма мислителями, зокрема з Б. Паскалем, Р. Декартом.
Математика завжди залишалася для Ферма лише хобі, проте він заклав основи багатьох її областей - аналітичної геометрії, обчислення нескінченно малих, диференціальних рівнянь, теорії ймовірностей. Деякі його відкриття набагато випередили свій час.
Відомий як автор двох уславлених теорем з теорії чисел, названих його ім'ям: малої теореми Ферма та великої теореми Ферма. Щодо останньої на полях однієї з книг він писав: «Я знайшов цьому воістину чудовий доказ, але ці поля надто малі для нього».
За іронією долі, саме велика теорема довгий час залишалася рекордсменом за кількістю невдалих спроб доказу. Лише 1994 р. американський математик Еге. Вайлз зумів сформулювати її загальний доказ.
Вступ
Пройшло 375 років після того, як П'єр Ферма виклав на полях книги Велику теорему, яка сполошила всіх учених.
Упродовж усіх цих років вчені намагалися довести цю теорему.
Але цей унікальний витвір Ферма і саме вже століття загнано в «підпілля», оголошено «поза законом», стало найнегіднішим і ненависним завданням у всій історії математики. Але настав час цьому «гидкому каченяті» математики перетворюватися на прекрасного лебедя! Дивовижна загадка Ферма вистраждала своє право зайняти гідне місце і в скарбниці математичних знань, і в кожній школі світу поряд зі своєю сестрою – теоремою Піфагора. Таке унікальне, витончене завдання просто не може не мати і красивих, витончених рішень. Якщо теорема Піфагора має 400 доказів, то нехай спочатку у теореми Ферма буде всього 4 простих докази.
Може, поступово їх побільшає.
Я хочу розповісти про цю унікальну проблему всіх вчених.
Біографія П'єр Ферма
П'єр Ферма народився Півдні Франції у містечку Бомон-де-Ломань, де його батько - Домінік Ферма - був " другим консулом " , т. е. чимось на кшталт помічника мера.
Ферма направив усю силу свого генія на математичні дослідження. І все ж таки математика не стала його професією. Ферма обирає юриспруденцію. З 1630 Ферма переселяється в Тулузу, де отримує місце радника в Парламенті (тобто суді). У 1631 році Ферма одружився зі своєю дальньою родичкою з материнського боку - Луїзе де-Лонг. П'єр і Луїза мали п'ятеро дітей, з яких старший, Самюель, став поетом і вченим.
Велику заслугу Ферма перед наукою бачать, як правило, у введенні їм нескінченно малої величини в аналітичну геометрію, подібно до того, як це, трохи раніше, було зроблено Кеплером щодо геометрії стародавніх.
До Ферма систематичні методи обчислення площ розробили італійський учений Кавальєрі. Але вже 1642 року Ферма відкрив метод обчислення площ, обмежених будь-якими "параболами" та будь-якими "гіперболами". Їм було показано, що площа необмеженої фігури може бути кінцевою.
Ферма однією з перших зайнявся завданням спрямування кривих, тобто. обчисленням довжини їх дуг. Він зумів звести це завдання до обчислення деяких площ.
Незважаючи на відсутність доказів (з них дійшло лише одне), важко переоцінити значення творчості П'єра Ферма у сфері теорії чисел. Йому одному вдалося виділити з хаосу завдань і приватних питань, що відразу виникають перед дослідником щодо властивостей цілих чисел, основні проблеми, які стали центральними для всієї класичної теорії чисел. Йому належить відкриття потужного загального методу для доказу теоретико-числовых пропозицій - так званого методу невизначеного чи нескінченного спуску, про який буде сказано нижче. Тому Ферма з права може вважатися основоположником теорії чисел.
Жовтень 1640 Ферма висловив таке твердження: якщо число, а не ділиться на просте число р, то існує такий показник, що а-1 ділиться на р, причому є дільником р-1. Це твердження отримало назву малої теореми Ферма. Воно є основним у всій елементарній теорії чисел.
У задачі другої книги своєї "Арифметики" Діофант поставив завдання подати цей квадрат у вигляді суми двох раціональних квадратів. На полях, проти цього завдання, Ферма написав: "Навпаки, неможливо розкласти ні куб на два куби, ні біквадрат на два біквадрати і взагалі ні в який ступінь, більший за квадрат, на два ступеня з тим же показником. Я відкрив цьому воістину чудовий доказ , але ці поля йому занадто вузькі". Це і є знаменита Велика теорема.
Велика теорема стоїть першому місці за кількістю даних їй невірних доказів. Велика теорема пов'язана не тільки з алгебраїчною теорією чисел, але і з геометрією алгебри, яка зараз інтенсивно розвивається.
Сам Ферма залишив доказ Великої теореми для четвертих ступенів.
У минулому столітті Куммер, займаючись Великою теоремою Ферма, побудував арифметику для цілих чисел алгебри певного виду. Це дозволило йому довести Велику теорему деякого класу простих показників n. Нині справедливість Великої теореми перевірено всім показників n менше 5500.
З інших робіт П'єра Ферма залишається згадати:
) про його заняття вирішенням деяких питань теорії ймовірностей, викликаних або поставлених листуванням з Блезом Паскалем;
) про спроби відновлення деяких із втрачених творів давніх грецьких математиків і, нарешті,
) про його суперечки з Декартом з приводу методу визначення найбільших та найменших величин та з питань діоптрики.
Сучасники характеризують Ферма як чесну, акуратну, врівноважену і привітну людину, блискуче ерудовану як у математиці, так і в гуманітарних науках, знавця багатьох стародавніх і живих мов, на яких він писав непогані вірші.
Правильні багатокутники
Я хочу знати, коли за допомогою циркуля та лінійки можна побудувати правильний n-кутник. Щоб отримати розумну відповідь, потрібно уточнити постановку завдання. А саме потрібно фіксувати розмір і положення правильного n-кутника (інакше число рішень буде нескінченним, за умови, що є хоча б одне рішення). Отже, будемо вважати, що наш n-кутник вписаний в дане коло g з центром О, і фіксовано положення А0 однієї його вершини. Потрібно визначити положення А1, А2, …, Аn-1 інших вершин. Зрозуміло, досить визначити положення точки А1 - відкладаючи послідовну дугу А0А1, ми отримаємо точки А2, А3, А4 і т.д.
Найпростіше це завдання вирішується при n=6. Відомо, що сторона правильного вписаного шестикутника дорівнює радіусу цього кола. Тому потрібна програма виглядає так (додаток 1):
Циркулем побудувати з точки А0 коло G1 з радіусом ОА0.
Відзначити точку А1перетину кіл G і G1.
Ми бачимо, що ця програма призводить до двох різних відповідей, але відповідні шестикутники А0А1 А2 А3 А4 А5 і А0А1 А2 А3 А4 А5 відрізняються лише порядком нумерації вершин. Така сама ситуація спостерігається у випадках n=3 та n=4. Більше цікаві випадки n=5 та n=10. Я розберу тут випадок n=10.
Якщо провести бісектрису А1В кута ОА1А0, то трикутники ОА1В, ВА1А0, що утворилися, будуть рівнобедреними, а трикутники ОА1А0 і ВА1А0 - подібними. Вважатимемо пряму ОА0 числової віссю, де точці О відповідає нулю, а точка А0 - одиниці.
Вирішивши це рівняння, ми знайдемо точку В. Шукана точка А1 знайдеться як точка перетину даного кола G з колом з центром у точці А0 та радіусом довжиною х. Таких точок 2 - і виходить два рішення: точки А1 і А1”.
Другий корінь негативний і з цієї причини начебто не годиться. Однак не поспішатимемо «відкидати» цей корінь, а спробуємо зрозуміти його геометричний зміст.
Відновимо попередній малюнок (додаток 3), вважаючи, що точка знаходиться не справа, а ліворуч від точки О. Ми отримаємо інший малюнок (додаток 3). Це дасть для точки А1 ще два можливі положення: А1”' і А1””.
Отже, ми дійшли чотирьох різних можливостей для точки А1. В результаті виходить два різних десятикутники: опуклий та зірчастий (додатки 2,3).
Зауважимо, що з точки зору циркуля і лінійки зірчастий десятикутник нічим не гірше опуклого.
Можливо заперечення: у опуклого багатокутника несуміжні сторони не перетинаються, а зірчастого перетинаються. Але це заперечення відпадає, якщо ми стороною називатимемо не відрізок між двома вершинами (поняття «між» у нас немає!), а всю пряму. Тоді правильне креслення «опуклого» десятикутника матиме вигляд, лише розміром, що відрізняється від «зіркового» (додаток 4).
Аналогічна ситуація виникає у разі п'ятикутників. Тут також є 4 рішення, що призводять до двох різних п'ятикутників (додаток 5, а, б) з двома різними нумераціями вершин на кожному.
Тепер, не вирішуючи явно завдання побудови довільного правильногокутника, спробуємо встановити, скільки в неї різних рішень. Позначимо через х довжину дуги А0А1. Точка А1 є рішенням завдання (з погляду циркуля), якщо, відкладаючи дугу довжини х від точки А0 послідовно n разів, ми повернемося у вихідну точку А0, а відкладаючи менше разів - не повернемося.
Останнє застереження істотне, інакше у разі, наприклад, n=6 нам довелося б назвати «правильним вписаним шестикутником» двічі пройдений трикутник, або тричі пройдений діаметр, або навіть шість разів повторену точку А0.
На мові арифметики, приймаючи довжину всього кола за одиницю, умову можна сформулювати так: число nx - ціле, а числа х, 2х, 3х, …, (n-1)х - не цілі. Це відповідає тим чотирьом рішенням, які ми раніше знайшли геометричним способом. Зауважимо, що якщо взяти як х число (або , ,…), то нових геометричних рішень ми не отримаємо: положення точки на колі залежить не від самого числа х = , а від залишку, який дає k при розподілі на n. що нескоротні дроби (m Правильний n-кутник допускає побудову циркулем та лінійкою лише тоді, коли ф(n)=2l для деякого цілого l. (Наприклад, правильний семикутник побудувати неможливо, оскільки число ф(n)=6 не є ступенем двійки.) Необхідність цієї умови я постаралася пояснити. Те, що воно є достатнім, - окремий результат. Числа Ферма Отриманий результат не вичерпує повністю поставлене завдання. Залишається нез'ясованим питання - чи багато таких чисел n, котрим ф(n)=2l, тобто. чи багато взагалі «червоних» чисел? Зрозуміло, про кожне окреме число ми можемо досить швидко сказати, червоне воно чи чорне – достатньо обчислити ф(n). Але це не дасть наочного опису всієї сукупності червоних чисел. Виявляється, пошук такого опису призводить до важкої і досі не вирішеної проблеми з теорії чисел. Розкладемо n на прості множники: = p1m1p2m2 ... pkmk, де p1, ..., рk - Різні прості числа, і порахуємо ф (n). З властивостей функції Ейлера (1) та (2) ми отримуємо: ф (n) = ф (p1m1) ф (р2m2) ... ф (pkmk) = p1m1-1p2m2-1 (p1-1) (p2-1) ... (pk-1). Щоб права частина останнього виразу була ступенем двійки, потрібно, щоб кожен непарний простий множник p1 входив до нього з показником m1 = 1: при цьому саме число р1 повинно мати вигляд р1 = 2l +1. З іншого боку, вираз 2l+1 може бути простим лише тоді, коли l – ступінь двійки. Отже, кожен непарний множник р1 = +1. Числа виду +1 отримали назву чисел Ферма. Перші п'ять чисел Ферма (при k=0,1,2,3,4) – 3, 5, 17, 257, 65537 – справді виявилися простими. Як виявив Ейлер, шосте число Ферма 1 поділяється на 641. З часів Ейлера числами Ферма цікавилися математики різних країн. Зокрема, майже рівно сто років тому 1878, на засіданні Петебурзької академії наук слухалося повідомлення Є.І. Золотарьова про роботу, представлену академії священиком Іонном Первушиним. У цій роботі встановлювалося, що число Останнім часом багато числа Ферма досліджено на комп'ютерах. Серед них простих чисел виявити так і не вдалося, тому досі невідомо, чи існують прості числа Ферма, крім перших п'яти. Тому я змушена сформулювати відповідь на завдання в ще не остаточній формі: Правильний n-кутник допускає побудову циркулем і лінійкою тоді і лише тоді, коли n = 2kр1р2 ... рk, де р1 - попарно різні числа Ферма. Велика теорема Ферма
Для будь-якого натурального числа n> 2 рівняння xn+yn=zn не має натуральних рішень x,yта z. Для n = 3 теорему Ферма довів Л. Ейлер, для n = 5 І. Діріхле та А. Лежандр, для n = 7 – Г. Ламе. Теорему Ферма достатньо довести для будь-якого простого показника n = 2, тобто достатньо довести, що рівняння немає рішень у цілих ненульових взаємно простих числах x, y, z. перший випадок, коли (xyz, p) = 1 та другий випадок, коли p|z. Доказ другого випадку теореми Ферма складніше і зазвичай проводиться методом нескінченного спуску. Теорема Ферма може бути сформульована так: для будь-якого натурального числа n> 2 на кривій Ферма xn + yn = 1 немає раціональних точок, окрім тривіальних (0, ±1), (±1,0). Раціональні точки на кривій Ферма досліджуються методами геометрії алгебри. Цими методами доведено, що кількість раціональних точок на кривій Ферма у всякому разі звичайно, що випливає з гіпотези Морделла, доведеної Г. Фалтінгсом. Рівняння Ферма розглядається в числах алгебри, цілих функціях, матрицях і т.д. Є узагальнення теореми Ферма для рівнянь виду ферма число теорема доказ Полегшена теорема Ферма Доведення: Нехай існують натуральні числа x, y, n, такі, що n≥z і xn+yn=zn. Неважко помітити, що x Що й потрібно було довести. Мала теорема Ферма
Для будь-якого простого і цілого а, ар-1 - 1 ділиться на р. Доведення: Розглянемо два випадки: a ділиться на p; a не поділяється на p. ) a ділиться на p; Тоді використовуючи порівняння<#"556025.files/image012.jpg"> Додаток 2
Додаток 3
Додаток 4
Додаток 5
Додаток 6 Творча робота Загайнової Ольги та Загайнової Наталії. Математик та диявол
Після кількох місяців напруженої роботи з вивчення незліченних вицвілих манускриптів Саймону Флеггу вдалося викликати диявола. Дружина Саймона, знавець середньовіччя, надала йому неоціненну допомогу. Сам він, будучи лише математиком, було розбирати латинські тексти, особливо ускладнені рідкісними термінами демонології X століття. Чудове чуття місіс Флегг довелося тут дуже до речі. Після попередніх сутичок Саймон та чорт сіли за стіл для серйозних переговорів. Гість з пекла був похмурий, оскільки Саймон зневажливо відкинув його найпривабливіші пропозиції, легко розпізнавши смертельну небезпеку, приховану в кожній спокусливій приманці. - А що, якщо тепер ви для різноманітності вислухаєте мою пропозицію? - сказав нарешті Саймон. - Воно, принаймні, без каверз. Він роздратовано покрутив роздвоєним кінчиком хвоста, ніби це був звичайний ланцюжок із ключами. Очевидно, він був скривджений. - Ну що ж, - сердито погодився він. - Шкода від цього не буде. Валяйте, містере Саймон! - Я поставлю вам тільки одне запитання, - почав Саймон, і диявол повеселішав. - Ви повинні відповісти на нього протягом двадцяти чотирьох годин. Якщо вам це не вдасться, ви платите мені сто тисяч доларів. Це скромна вимога - адже ви звикли до незмірно великих вимог. Жодних мільярдів, жодних Олен троянських на тигровій шкурі. Звичайно, якщо я виграю, ви не повинні мститись. - Подумаєш! - пирхнув чорт. - А яка ваша ставка? - Якщо я програю, то на короткий термін стану вашим рабом. Але без будь-яких мук, загибелі душі тощо — це було б забагато за таку дрібницю, як сто тисяч доларів. Не бажаю шкоди й моїм родичам чи друзям. Втім, – подумавши, додав він, – тут можуть бути винятки. Він насупився, сердито смикаючи себе за кінчик хвоста. Нарешті він смикнув так сильно, що навіть скривився від болю, і рішуче заявив: Дуже шкода, але займаюся лише душами. Рабів у мене й так вистачає. Якби ви знали, скільки безкоштовних і щирих послуг надають мені люди, ви були б вражені. Але ось що я зроблю. Якщо в заданий час я не зможу відповісти на ваше запитання, ви отримаєте не жалюгідні сто тисяч доларів, а будь-яку – звичайно, не надто дику – суму. Крім того, я пропоную вам здоров'я та щастя до кінця вашого життя. Якщо ж я відповім на ваше запитання – ну що ж, наслідки вам відомі. Ось все, що я можу вам запропонувати. Він узяв із повітря запалену сигару і задимив. Запанувала насторожена мовчанка. Саймон дивився перед собою, нічого не бачачи. Великі краплі поту виступили в нього на лобі. Він добре знав, які умови може виставити чорт. М'язи його обличчя напружилися... Ні, він готовий прокладати душу, що ніхто – ні людина, ні звір, ні диявол – не відповість за добу на його запитання. - Включіть у пункт про здоров'я та щастя мою дружину – і по руках! - сказав він. - Давайте підпишемо. Чорт кивнув головою. Він вийняв з рота недопалок, з огидою подивився на нього і торкнувся пазуром. Недолік миттєво перетворився на рожеву м'ятну таблетку, яку чорт почав смоктати голосно і з явною насолодою. - Що стосується вашого питання, - продовжував він, - то на нього має бути відповідь, інакше наш договір недійсний. У середні віки люди любили загадки. Нерідко приходили до мене з парадоксами. Наприклад: у селі жив лише один цирульник, який голив усіх, хто не голився сам. Хто голив цирульника? – питали вони. Але, як зазначив Рассел, слово "всіх" робить таке питання безглуздим, і відповіді на нього немає. - Моє питання чесне і не містить парадоксу, - запевнив його Саймон. - Чудово. Я на нього відповім. Що ви посміхаєтеся? - Я... нічого, - відповів Саймон, зігнавши з лиця усмішку. - У вас міцні нерви, - сказав чорт похмурим, але схвальним тоном, витягаючи з повітря пергамент. - Якби я постав перед вами в образі чудовиська, що поєднує в собі миловидність ваших горил з граціозністю монстра, який живе на Венері, ви навряд чи зберегли б свій апломб, і я впевнений... - У цьому немає жодної потреби, - поспішно сказав Саймон . Він узяв протягнутий йому договір, переконався, що все гаразд, і відкрив складаний ніж. - Хвилинку! – зупинив його диявол. - Дайте я його продезінфікую. - Він підніс лезо до губ, трохи подув, і сталь розжарилася до вишнево-червоного кольору. - Ну ось! Тепер торкніться кінчиком ножа... гм... до чорнила, і це все... Прошу вас, другий рядок знизу, останній - мій. Саймон зволікав, задумливо дивлячись на розпечений кінчик ножа. Підписуйтесь, - поспішив чорт, і Саймон, розправивши плечі, поставив своє ім'я. Поставивши і свій підпис з пишним розчерком, він потер руки, окинув Саймона відверто власницьким поглядом і весело сказав: - Ну, викладайте своє запитання! Як тільки я на нього відповім, ми вирушимо. Мені треба відвідати сьогодні ще одного клієнта, а часу обмаль. - Добре, - сказав Саймон і глибоко зітхнув. - Моє питання таке: чи вірна чи не вірна велика теорема Ферма? Він проковтнув слину. Вперше його самовпевненість завагалася. - Велика – чия? Що? - глухим голосом спитав він. – Велика теорема Ферма. Це математичне становище, яке Ферма, французький математик сімнадцятого століття, нібито довів. Однак його доказ не було записано, і досі ніхто не знає, чи вірна теорема чи ні. - Коли Саймон побачив фізіономію чорта, у нього здригнулися губи. - Ну от, ідіть і займіться! – Математика! - з жахом вигукнув хвостатий. - Ви думаєте, я мав час вивчати такі штуки? Я проходив тривіум та квадрівіум Я впораюся, мені траплялося робити й важчі речі, любий містере Саймон, - сказав диявол, - одного разу я злітав на віддалену зірку і приніс звідти літр нейтрону за 16… Знаю, – перебив його Саймон. - Ви майстер на такі фокуси. – Які там фокуси! - сердито пробурчав диявол. - Були величезні технічні проблеми. Але не варто ворушити минуле. Я — до бібліотеки, а завтра в цей час... — Ні, — перебив його Саймон. - Ми розписалися півгодини тому. Повертайтеся лише за двадцять три з половиною години. Не квапитиму вас, - іронічно додав він, коли диявол з тривогою глянув на годинник. - Випийте чарку вина і, перш ніж піти, познайомтеся з моєю дружиною. - На роботі я ніколи не п'ю, і я не маю часу знайомитися з вашою дружиною... принаймні тепер. Він зник. Тієї ж миті увійшла дружина Саймона. - Знову підслухувала біля дверей! - м'яко дорікнув її Саймон. - Звичайно, - здавленим голосом промовила вона. - І я хочу знати, дорогий, чи справді важке це питання. Тому що, якщо це не так... Саймоне, я просто в жаху! - Будь спокійна, питання важке, - безтурботно відповів Саймон. - Не всі це одразу розуміють. Чи бачиш, - тоном лектора продовжував він, - кожен легко знайде два цілих числа, квадрати яких у сумі теж дають квадрат. Наприклад, 32+42=52, тобто просто 9+16=25. Ясно? - Так! Вона поправила чоловікові краватку. - Але ніхто ще не міг знайти два куби, які при складанні теж давали б куб, або більш високі ступеня, які б призводили до аналогічного результату, - мабуть, їх просто немає. І все-таки, - тріумфально закінчив він, - досі не доведено, що таких чисел не існує! Тепер зрозуміла? - Звичайно. - Дружина Саймона завжди розуміла найскладніші математичні положення. А якщо щось виявлялося вище за її розуміння, чоловік терпляче пояснював їй усе по кілька разів. Тому місіс Флеґ залишалося мало часу для інших справ. - Зварю каву, - сказала вона і пішла. Через чотири години, коли вони сиділи і слухали Третю симфонію Брамса, він з'явився знову. - Я вже вивчив основи алгебри, тригонометрії та планіметрії! - тріумфально оголосив він. - Швидко працюєте! - похвалив його Саймон. - Я впевнений, що сферична, аналітична, проективна, накреслювальна та неевклідова геометрії не представлять для вас труднощів. Він скривився. - Їх так багато? - Запалим голосом спитав він. – О, це далеко не все. — Саймон мав такий вигляд, ніби він повідомив радісну звістку. - Неевклідові вам сподобаються, - посміхнувся він. - Для цього вам не треба буде розбиратися у кресленнях. Креслення нічого не скажуть. І якщо ви не в ладах з Евклідом... Диявол застогнав, поблік, як стара кіноплівка, і зник. Дружина Саймона хихикнула. - Мій любий, - заспівала вона, - я починаю думати, що ти візьмеш верх! – Тсс! Остання частина! Чудово! Ще через шість годин щось спалахнуло, кімнату заволокло димом, і диявол знову опинився тут. У нього з'явилися мішки під очима. Саймон Флег зігнав з обличчя посмішку. - Я пройшов усі ці геометрії, - з похмурим задоволенням промовив чорт. – Тепер буде легше. Я готовий зайнятися вашою маленькою головоломкою. Саймон похитав головою. - Ви надто поспішайте. Очевидно, ви помітили таких фундаментальних методів, як аналіз нескінченно малих, диференціальні рівняння і обчислення кінцевих різниць. Потім є ще... - Невже це все потрібно? - зітхнув диявол. Він сів і почав терти кулаками опухлі повіки. Бідолаха не міг утримати позіхання. - Не можу сказати, мабуть, - байдужим голосом відповів Саймон. - Але люди, працюючи над цією "маленькою головоломкою", випробували всі розділи математики, а завдання ще не вирішено. Я запропонував би... Але чорт не був схильний вислуховувати поради Саймона. Цього разу він зник, навіть не вставши зі стільця. І зробив це досить незграбно. Мені здається, він утомився, - зауважила місіс Флегг. - Бідолашний біса! Втім, у її тоні важко було вловити співчуття. - Я теж втомився, - озвався Саймон. - Підемо спати. Я думаю, що до завтра він не з'явиться. – Можливо, – погодилася дружина. - Але про всяк випадок я одягну сорочку з чорними мереживами. Настав ранок наступного дня. Тепер подружжю здалася більш підходяща музика Баха. Тому вони поставили платівку із Вандою Ландовською. - Ще десять хвилин, і якщо він не повернеться з рішенням, ми виграли, - сказав Саймон. – Я віддаю йому належне. Він міг би закінчити курс за один день, притому з відзнакою, і отримати диплом доктора філософії. Проте... Пролунало шипіння. Поширюючи запах сірки, піднялася червона грибоподібна хмаринка. Перед подружжям на килимку стояв диявол і галасливо дихав, викидаючи клуби пари. Плечі його опустилися. Очі були налиті кров'ю. Кігтиста лапа, яка все ще стискала пачку списаних аркушів, помітно тремтіла. Ймовірно, у нього бешкетували нерви. Мовчки він жбурнув стос паперів на підлогу і почав люто топтати їх роздвоєними копитами. Нарешті, виснаживши весь заряд енергії, чорт заспокоївся, і гірка усмішка скривила його рота. Ви виграли, Саймоне, - прошепотів чорт, дивлячись на математика з незлобною повагою. - Навіть я не міг за цей короткий час вивчити математику настільки, щоб здолати таке важке завдання. Чим більше я в неї заглиблювався, тим гірше йшлося. Не єдине розкладання на множники, ідеальні числа - о Ваал!.. Ви знаєте, - довірливо повідомив він, - навіть найкращі математики інших планет - а вони пішли далеко від вас - не досягли рішення. Ех, один молодик на Сатурні – він трохи нагадує гриб на ходулях – в умі вирішує диференціальні рівняння у приватних похідних. Але тут і він спасував, - диявол зітхнув. Будьте здорові. Чорт зникав дуже повільно. Мабуть, він таки добряче втомився. 
ділиться на 167722161 = 5225 +1.
