Лазери або оптичні квантові генератори – це сучасні когерентні джерела випромінювання, що мають цілу низку унікальних властивостей. Створення лазерів стало однією з чудових досягнень фізики другої половини ХХ століття, що призвело до революційним змін у багатьох галузях науки і техніки. На сьогодні створено велика кількістьлазерів з різними характеристиками – газових, твердотільних, напівпровідникових, що випромінюють світло у різних оптичних діапазонах.
Лазери можуть працювати в імпульсному та безперервному режимах. Потужність випромінювання лазерів може змінюватися в межах від часток мілівата до 10 12 -10 13 Вт (в імпульсному режимі). Лазери знаходять широке застосування у військовій техніці, технології обробки матеріалів, в медицині, в оптичних системах навігації, зв'язку і локації, в прецизійних інтерференційних експериментах, в хімії, просто в побуті і т. д. Хоча перший лазер був побудований порівняно недавно (1960 р.), сучасне життявже неможливо уявити без лазерів.
Однією з найважливіших властивостей лазерного випромінювання є надзвичайно високий рівень його монохроматичності, недосяжна у випромінюванні нелазерних джерел. Це й інші унікальні властивості лазерного випромінювання виникають у результаті узгодженого, кооперативного випромінювання світлових квантів багатьма атомами робочої речовини.
Щоб зрозуміти принцип роботи лазера, розглянемо процеси поглинання та випромінювання атомами квантів світла. Атом може бути в різних енергетичних станах з енергіями E 1 , E 2 і т. д. Теоретично Бора ці стани називаються стабільними. Насправді стабільним станом, у якому атом може бути нескінченно довго без зовнішніх обурень, є лише стан з найменшою енергією. Цей стан називають основним. Усі інші стани нестабільні. Збуджений атом може перебувати в цих станах лише дуже короткий час, близько 10 -8 с, після чого він мимоволі перетворюється на один з нижчих станів, випускаючи квант світла, частоту якого можна визначити з другого постулату Бору. Випромінювання, що випромінюється при мимовільному переході атома з одного стану в інший, називають спонтанним. На деяких енергетичних рівнях атом може перебувати значно більший час близько 10 -3 с. Такі рівні називаються метастабільними.
Перехід атома у більш високий енергетичний стан може відбуватися при резонансному поглинанні фотона, енергія якого дорівнює різниці енергій атома в кінцевому та початковому станах.
Переходи між енергетичними рівнями атома не обов'язково пов'язані з поглинанням чи випромінюванням фотонів. Атом може придбати або віддати частину своєї енергії та перейти в інший квантовий стан у результаті взаємодії з іншими атомами або зіткнень з електронами. Такі переходи називаються безвипромінними.
У 1916 році А. Ейнштейн передбачив, що перехід електрона в атомі з верхнього енергетичного рівня на нижній може відбуватися під впливом зовнішнього електромагнітного поля, частота якого дорівнює своїй частоті переходу. Випромінювання, що виникає при цьому, називають вимушеним або індукованим. Вимушене випромінювання різко відрізняється від спонтанного випромінювання. В результаті взаємодії збудженого атома з фотоном атом випускає ще один фотон тієї ж частоти, що поширюється в тому ж напрямку. На мові хвильової теорії це означає, що атом випромінює електромагнітну хвилю, у якої частота, фаза, поляризація та напрямок поширення такі самі, як і у початкової хвилі. В результаті вимушеного випромінювання фотонів амплітуда хвилі, що розповсюджується в середовищі, зростає. З погляду квантової теорії, в результаті взаємодії збудженого атома з фотоном, частота якого дорівнює частоті переходу, з'являються два абсолютно однакові фотона-близнюки. Саме індуковане випромінювання є фізичною основоюроботи лазерів На малюнку 80 схематично представлені можливі механізми переходів між двома енергетичними станами атома з поглинанням (а), спонтанним випромінюванням кванта (b) та індукованим випромінюванням кванта (с). Розглянемо шар прозорої речовини, атоми якої можуть перебувати у станах з енергіями E 1 та E 2 > E 1 . Нехай у цьому шарі поширюється випромінювання резонансної частоти переходу ν = ΔE/h. Відповідно до розподілу Больцмана, при термодинамічній рівновазі більша кількість атомів речовини перебуватиме у нижньому енергетичному стані. Деяка частина атомів буде і у верхньому енергетичному стані, одержуючи необхідну енергію при зіткненнях коїться з іншими атомами. Позначимо населеності нижнього та верхнього рівнів відповідно через n 1 та n 2< n 1 . При распространении резонансного излучения в такой среде будут происходить все три процесса, изображенные на рисунке 80. Эйнштейн показал, что процесс (a) поглощения фотона
Рис. 1. a – спонтанне випромінювання фотона; б - вимушене випромінювання; в - резонансне поглинання; Е1 та Е2 – рівні енергії атома.
Атом, перебуваючи у збудженому стані а, може через деякий проміжок часу спонтанно, без будь-яких зовнішніх впливів, перейти в стан із нижчою енергією (у нашому випадку в основне), віддаючи надмірну енергію у вигляді електромагнітного випромінювання (випускаючи фотон з енергією h = E 2 -Е 1). Процес випромінювання фотона збудженим атомом (збудженою мікросистемою) без будь-яких зовнішніх впливів називається спонтанним(або мимовільним) випромінюванням. Чим більша ймовірність спонтанних переходів, тим менший середній час життя атома у збудженому стані. Оскільки спонтанні переходи взаємно пов'язані, то спонтанне випромінювання некогерентно.
У 1916 р. А. Ейнштейн для пояснення спостерігався на досвіді термодинамічної рівноваги між речовиною і випромінюванням, що випромінюється і поглинається ним, постулював, що крім поглинання і спонтанного випромінювання повинен існувати третій, якісно інший тип взаємодії. Якщо атом, що перебуває у збудженому стані 2 , діє зовнішнє випромінювання із частотою, яка задовольняє умові hv= E 2 – E 1 , то виникає вимушений (індукований) перехідв основний стан 1 з випромінюванням фотона тій же енергії hv= E 2 – E 1 (рис. 309, в). При такому переході відбувається випромінювання атомом фотона, додатководо того фотону, під впливом якого стався перехід. Виникає внаслідок таких переходів випромінювання називається вимушеним (індукованим) випромінюванням.Таким чином, у процес вимушеного випромінювання залучені два фотони: первинний фотон, що викликає випромінювання випромінювання збудженим атомом, і вторинний фотон, випущений атомом. Істотно, що вторинні фотони невідміннівід первинних, будучи точною їхньою копією.
7 Принцип дії лазера
Лазерпристрій, що перетворює енергію накачування (світлову, електричну, теплову, хімічну та ін.) в енергію когерентного, монохроматичного, поляризованого та вузькоспрямованого потоку випромінювання.
Фізичною основою роботи лазера є квантовомеханічне явище вимушеного (індукованого) випромінювання. Промінь лазера може бути безперервним, з постійною амплітудою, або імпульсним, що досягає екстремально великих пікових потужностей. У деяких схемах робочий елемент лазера використовується як оптичний підсилювач для випромінювання від іншого джерела. Існує велика кількість видів лазерів, що використовують як робоче середовище всі агрегатні стани речовини.
Фізичною основою роботи лазера є явище вимушеного (індукованого) випромінювання. Суть явища у тому, що збуджений атом здатний випромінювати фотон під впливом іншого фотона без його поглинання, якщо енергія останнього дорівнює різниці енергій рівнів атома до і після випромінювання. При цьому випромінюваний фотон когерентний фотону, що викликав випромінювання (є його «точною копією»). У такий спосіб відбувається посилення світла. Цим явище відрізняється від спонтанного випромінювання, в якому випромінювані фотони мають випадкові напрямок розповсюдження, поляризацію і фазу. Тому для посилення світла необхідно, щоб збуджених атомів серед було більше, ніж незбуджених (так звана інверсія населеностей). У стані термодинамічної рівноваги ця умова не виконується, тому використовуються різні системи накачування активного середовища лазера ( оптичні, електричні, хімічніта ін.).
Першоджерелом генерації є процес спонтанного випромінювання, тому для забезпечення наступності поколінь фотонів необхідно існування позитивного зворотного зв'язку, рахунок якого випромінювані фотони викликають наступні акти індукованого випромінювання. Для цього активне середовище лазера міститься в оптичний резонатор. У найпростішому випадку він є двома дзеркалами, одне з яких напівпрозоре - через нього промінь лазера частково виходить з резонатора. Відбиваючись від дзеркал, пучок випромінювання проходить по резонатору, викликаючи в ньому індуковані переходи. Випромінювання може бути як безперервним, і імпульсним. При цьому, використовуючи різні прилади ( призми, осередки Керрата ін) для швидкого вимикання та включення зворотного зв'язку та зменшення тим самим періоду імпульсів, можливо створити умови для генерації випромінювання дуже великої потужності (так звані гігантські імпульси). Цей режим роботи лазера називають модульованим режимом добротності.
Випромінювання, що генерується лазером, є монохроматичним (одним або дискретним набором довжин хвиль), оскільки ймовірність випромінювання фотона певної довжини хвилі більше, ніж близько розташованої, пов'язаної з розширенням спектральної лінії, а, відповідно, і можливість індукованих переходів на цій частоті теж має максимум. Тому поступово в процесі генерації фотони даної довжини хвилі домінуватимуть над усіма іншими фотонами. Крім цього, через особливе розташування дзеркал в лазерному промені зберігаються ті фотони, які поширюються в напрямку, паралельному оптичній осі резонатора на невеликій відстані від неї, інші фотони швидко залишають обсяг резонатора. Таким чином, промінь лазера має дуже малий кут розбіжності. ] . Нарешті, промінь лазера має певну поляризацію. Для цього в резонатор вводять різні поляроїди, наприклад, ними можуть бути плоскі скляні пластинки, встановлені під кутом Брюстера до напряму поширення променя лазера
Охарактеризуємо квантові процеси випромінювання та поглинання фотонів атомами. Фотони випромінюються лише збудженими атомами. Випромінюючи фотон, атом втрачає енергію, причому величина цієї втрати пов'язана із частотою фотона співвідношенням (3.12.7). Якщо атом, з якихось причин (наприклад, через зіткнення з іншим атомом) переходить у збуджений стан, цей стан є нестійким. Тому атом повертається у стан із меншою енергією, випромінюючи фотон. Таке випромінювання називається спонтаннимабо мимовільним.Таким чином, спонтанне випромінювання відбувається без зовнішнього впливу та обумовлене лише нестійкістю збудженого стану. Різні атоми спонтанно випромінюють незалежно один від одного і генерують фотони, які поширюються в різних напрямках. Крім того, атом може бути збуджений у різні станитому випромінює фотони різних частот. Тому ці фотони є некогерентними.
Якщо атоми перебувають у світловому полі, останнє може викликати переходи як із нижчого рівня на вищий, що супроводжуються поглинанням фотона, і навпаки з випромінюванням фотона. Випромінювання, викликане впливом на атом сторонньої електромагнітної хвилі з резонансною частотою, для якої виконується рівність (3.12.7), називається індукованимабо вимушеним.На відміну від спонтанного у кожному акті індукованого випромінювання беруть участь два фотони. Один з них поширюється від стороннього джерела та впливає на атом, а інший випромінюється атомом внаслідок цього впливу. p align="justify"> Характерною рисою індукованого випромінювання є точне збіг стану випущеного фотона зі станом зовнішнього. Обидва фотони мають однакові хвильові вектори та поляризації, у обох фотонів однакові також частоти та фази. Це означає, що фотони індукованого випромінювання завжди є когерентними з фотонами, що викликали це випромінювання. Атоми, що знаходяться у світловому полі, можуть також поглинати фотони, в результаті чого атоми збуджуються. Резонансне поглинанняфотонів атомами завжди є індукованим процесом, що відбувається лише у полі зовнішнього випромінювання. У кожному акті поглинання зникає один фотон, а атом переходить у стан з більшою енергією.
Які процеси будуть переважати при взаємодії атомів з випромінюванням, випромінювання або поглинання фотонів, залежатиме від кількості атомів, що мають більшу чи меншу енергію.
Ейнштейн застосував до опису процесів спонтанного та вимушеного випромінювання імовірнісні методи. Виходячи з термодинамічних міркувань, він довів, що ймовірність вимушених переходів, що супроводжуються випромінюванням, повинна дорівнювати ймовірності вимушених переходів, що супроводжуються поглинанням світла. Таким чином, вимушені переходи можуть з рівною ймовірністю відбуватися як в одному, так і іншому напрямку.
Розглянемо тепер багато однакових атомів у світловому полі, яке вважатимемо ізотропним і неполяризованим. (Тоді відпадає питання щодо залежності введених нижче коефіцієнтів від поляризації і напрями випромінювання.) Нехай і числа атомів у станах з енергіями і , причому ці стани можуть бути взяті будь-якими з низки допустимих станів, але . і прийнято називати заселення енергетичних рівнів.Число переходів атомів зі стану в стан в одиницю часу при спонтанному випромінюванні буде пропорційно числу атомів у стані:
Число переходів атомів між тими ж станами при індукованому випромінюванні буде також пропорційно до заселеності п –ого рівня, але ще спектральної щільності енергії випромінювання, в полі якого знаходяться атоми:
Число ж переходів з т –ого на п –ий рівень за рахунок взаємодії з випромінюванням
Величини називаються коефіцієнтами Ейнштейна.
Рівновагу між речовиною та випромінюванням буде досягнуто за умови, що число атомів, що здійснюють в одиницю часу перехід із стану пу стан тдорівнюватиме числу атомів, що здійснюють перехід у зворотному напрямку:
Як мовилося раніше, ймовірність вимушених переходів у одному й іншому напрямах однакова. Тому.
Тоді (3.16.4) можна знайти щільність енергії випромінювання
Рівноважне розподілення атомів за станами з різною енергією визначається законом Больцмана
Тоді з (3.16.5) отримаємо
Що добре узгоджується із формулою Планка (3.10.23). Ця згода призводить до висновку про існування індукованого випромінювання.
Лазери.
У 50 - х роках ХХ століття були створені пристрої, при проходженні через які електромагнітні хвилі посилюються за рахунок вимушеного випромінювання. Спочатку були створені генератори, що працювали в діапазоні сантиметрових хвиль, а пізніше був створений аналогічний прилад, що працює в оптичному діапазоні. Він був названий першими буквами англійської назви Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation (посилення світла за допомогою вимушеного випромінювання) – лазер.Лазери називають також оптичними квантовими генераторами
Щоб при проходженні речовини інтенсивність випромінювання зростала, необхідно для кожної пари атомних станів, переходи між якими відбуваються з випромінюванням і поглинанням фотонів, заселеність стану з більшою енергією була більшою за заселеність стану з меншою енергією.Це означає, що теплова рівновага має бути порушена. Кажуть, що речовина, в якій стан атомів з більш високою енергією заселено більше, ніж стан з меншою енергією, має інверсією заселеності.
Проходячи через речовину з інверсією заселеностей двох атомних станів, випромінювання збагачується фотонами, що викликають переходи між цими атомними станами. В результаті відбувається когерентне посилення випромінювання на певній частоті, коли переважає індуковане випромінювання фотонів над поглинанням при переходах атомів між станами з інверсією заселеностей. Речовину з інверсією заселеностей називають активним середовищем.
Щоб створити стан із інверсією заселеностей, необхідно витрачати енергію, витрачаючи її на подолання процесів, що відновлюють рівноважний розподіл. Такий вплив на речовину називається накачуванням.Енергія накачування завжди надходить від зовнішнього джерела до активного середовища.
Існують різні способинакачування. Для створення інверсії заселеностей рівнів у лазерах найчастіше використовується метод трьох рівнів. Розглянемо суть цього з прикладу рубінового лазера.
Рубін є окис алюмінію, в якій деякі з атомів алюмінію заміщені атомами хрому. Енергетичний спектр атомів (іонів) хрому містить три рівні (рис.3.16.1) з енергіями і . Верхній рівень насправді є досить широкою смугою, утвореною сукупністю близько розташованих рівнів.
| Р |
Головна особливість трирівневої системи полягає в тому, що рівень 2, розташований нижче за рівень 3, повинен бути метастабільним рівнем.Це означає, що перехід у такій системі заборонено законами квантової механіки. Ця заборона пов'язана з порушенням правил відбору квантових чисел для такого переходу. Правила відбору не є правилами абсолютної заборони переходу. Проте їх порушення для деякого квантового переходу значно зменшує його ймовірність. Потрапивши у такий метастабільний стан, атом затримується у ньому. При цьому час життя атома у метастабільному стані () у сотні тисяч разів перевищує час життя атома у звичайному збудженому стані (). Це забезпечує можливість накопичення збуджених атомів з енергією. Тому створюється інверсна заселеність рівнів 1 та 2.
Процес тому відбувається в такий спосіб. Під дією зеленого світла лампи - спалахи іони хрому переходять з основного стану в збуджений. Зворотний перехід відбувається у два етапи. На першому етапі збуджені іони віддають частину своєї енергії кристалічній решітці і переходять у метастабільний стан. Створюється інверсна заселеність цього стану. Якщо тепер у рубіні, який приведений у такий стан, з'явиться фотон із довжиною хвилі 694,3 нм (наприклад, в результаті спонтанного переходуз рівня на ), то індуковане випромінювання призведе до розмноження фотонів, точно копіюючих первісний (когерентних). Цей процес носить лавиноподібний характері і призводить до виникнення дуже великої кількості лише тих фотонів, які поширюються під малими кутами до осі лазера. Такі фотони, багаторазово відбиваючись від дзеркал оптичного резонатора лазера, проходять у ньому великий шлях і, отже, дуже багато разів зустрічаються з збудженими іонами хрому, викликаючи їх індуковані переходи. Потік фотонів при цьому поширюється вузьким пучком,
Рубінові лазери працюють у імпульсному режимі. У 1961 р. був створений перший газовий лазер на суміші гелію та неону, що працює у безперервному режимі. Потім було створено напівпровідникові лазери. В даний час список лазерних матеріалів налічує багато десятків твердих та газоподібних речовин.
Властивості лазерного випромінювання.
Лазерне випромінювання має властивості, яких немає у випромінювання звичайних (не лазерних) джерел.
1. Випромінювання лазерів має високий рівень монохроматичності. Інтервал довжин хвиль такого випромінювання становить ~0,01нм.
2. Для випромінювання лазера характерна висока тимчасова та просторова когерентність. Час когерентності такого випромінювання досягає секунд (довжина когерентності порядку м), що приблизно більше часу когерентності звичайного джерела. Просторова когерентність у вихідного отвору лазера зберігається по всьому перерізу променя. За допомогою лазера вдається отримати світло, обсяг когерентності якого в раз перевищує обсяг когерентності світлових хвиль тієї ж інтенсивності, отриманих від монохроматичних нелазерних джерел. Тому випромінювання лазерів використовують у голографії, де потрібне випромінювання з високим ступенем когерентності.
Спонтанне випромінювання.
Розглянемо в деякому середовищі два енергетичні рівні 1 і 2 з енергіями та (< ).Предположим, что атом или молекула вещества находится первоначально в состоянии соответствующая уровню 2 .Поскольку < атом будет стремится перейти на уровень 1.Следовательно, из атома должна соответствующая разность энергий - .Когда эта энергия высвобождается в виде электромагнитной волны, процесс называется спонтанным излучением. При этом частота излучаемой волны опред-ся формулой (полученной Планком):
Т.ч. спонтанне випромінювання хар-ся випромінюванням фотона з енергією - під час переходу атома з рівня 2 на 1.(рис.)
Імовірність спонтанного випромінювання можна визначити таким чином. Припустимо, що у момент часу t лише на рівні 2 знаходиться атомів в одиниці об'єму. Швидкість переходу (/ dt) спонт. Цих атомів внаслідок спонтанного випромінювання на нижчий рівень, очевидно, пропорційно. Отже можна написати:
(/ dt) спонт. =A (2)
Множник А є ймовірністю спонтанного випромінювання і називається коефіц. Енштейна А.Велічину = 1\А називають спонтанним часом життя. Чисельне значення А () залежить від конкретного переходу, що бере участь у випромінюванні.
Вимушене випромінювання.
Припустимо, що атом нах. на рівні 2 і на речовину падає електромагнітна хвиля з частотою опред-й виразом (1) - \h (тобто з частотою, що дорівнює частоті спонтанно випущеної хвилі).Оскільки частоти падаючої хвилі і випромінювання, пов'язане з атомним переходом, рівні один одному , Є кінцева ймовірність того, що падаюча хвиля викличе перехід з 2 → 1. При цьому різниця енергій - виділиться у вигляді елект-й хвилі, яка додасться до падаючої. Це і є явище вимушеного переходу.
Між процесами спонтанного та вимушеного випромінювання є суттєва відмінність. У разі спонтанного випромінювання атом випромінює електромагнітну хвилю, фаза якої не має визна-й зв'язку з фазою хвилі, випромінюваним іншим атомом. Більше того, випущена хвиля може мати будь-який напрямок поширення. У разі вимушеного випромінювання, оскільки процес ініціюється хвилею, що подає, випромінювання будь-якого атома додається до цієї хвилі в тій же фазі. Падаюча хвиля визначає також напрямок поширення випущеної хвилі. Процес вимушеного випромінювання можна описати за допомогою рівняння:
(/dt)вин.= (3)
Де ( /dt)вин.- швидкість переходу 2→1 рахунок вимушеного випромінювання,а .Як і коэ-т А визначається виразом (2), має також розмірність (час)^-1.Однак на відміну від А залежить не тільки від конкретного переходу, але й від інтенсивності падаючої електромагнітної хвилі. Точніше, для плоскої хвилі, можна написати:
де F-щільність потоку фотонів у падаючій хвилі, -величина має розмірність площі (перетин вимушеного випромінювання) і залежить від хар-к даного переходу.
4. Поглинання. Коефіцієнти поглинання.
Припустимо, що атом спочатку знаходиться на рівні 1. Якщо це основний рівень, то атом залишатиметься на ньому доти, поки на нього не подіє якесь зовнішнє обурення. Нехай на речовину потрапить електромагнітна хвиля з частотою, що визначається виразом : 2 - E 1 )/ h.
У такому разі існує кінцева ймовірність того, що атом перейде на верхній рівень 2. Різниця енергій E 2 - E 1 ,необхідна для того, щоб атом здійснив перехід, береться з енергії падаючої електромагнітної хвилі. У цьому полягає процес поглинання. За аналогією з (dN 2 / dt ) вих = - W 21 N 2 ймовірність поглинання W 12 визначається рівнянням: dN 1 / dt = - W 12 N 1 , де N 1 - Число атомів в одиниці об'єму, які в даний момент часу знаходяться на рівні 1. Крім того, так само, як і у вираженні W 21 = 21 F , Можна написати: W 12 = 12 F . Тут 12 деяка площа (перетин поглинання), яка залежить від конкретного переходу. Припустимо тепер, що кожному атому можна поставити у відповідність ефективний переріз поглинання фотонів а у тому сенсі, що якщо фотон потрапляє в цей переріз, він буде поглинений атомом. Якщо площа поперечного перерізу електромагнітної хвилі в середовищі позначити черех S , то число освітлених хвилею атомів середовища в шарі завтовшки dz одно N 1 Sdz і тоді повний переріз поглинання буде рівним а N 1 Sdz . Отже, відносна зміна числа фотонів ( dF / F ) у шарі завтовшки dz середовища одно: dF / F = - а N 1 Sdz / S . Видно що = а тому величині можна надати сенс ефективного перерізу поглинання. Взаємодія випромінювання з речовиною можна описувати по-іншому, визначивши коефіцієнт за допомогою виразу: = ( N 1 – N 2 ). Якщо N 1 > N 2 то величина називається коефіцієнтом поглинання. Коефіцієнт поглинання можна знайти як: (2 2 /3 n 0 c 0 h )( N 1 – N 2 ) 2 g t ( ) . Оскільки залежить від населеності двох рівнів, це не найкращий параметр для опису взаємодії в тих випадках, коли населеність рівнів змінюються як наприклад в лазері. Проте перевагою даного параметра і те, що може бути безпосередньо виміряний. Справді, dF = - Fdz . Тому, відношення щільності потоку фотонів, що пройшов у середу на глибину l , до щільності падаючого потоку фотонів F ( l )/ F (0)= exp (- l ) . Експериментальні виміри цього відношення при використанні досить монохроматичного випромінювання дають значення для цієї конкретної довжини хвилі падаючого світла. Відповідний переріз переходу виходить із виразу = ( N 1 – N 2 ) якщо відомі неселеності N 1 і N 2 . Прилад вимірювання коефіцієнта поглинання називається абсорбційним спектрофотометром.
Закон Бугера - Ламберта - Бера- фізичний закон, що визначає ослаблення паралельного монохроматичного пучка світла при поширенні його в поглинаючому середовищі.
Закон виражається такою формулою:
де I0 – інтенсивність вхідного пучка, l – товщина шару речовини, через яке проходить світло, kλ – коефіцієнт поглинання (не плутати з безрозмірним показником поглинання κ, який пов'язаний з kλ формулою kλ = 4πκ/λ, де λ – довжина хвилі).
Показник поглинання характеризує властивості речовини і залежить від довжини хвилі λ світла, що поглинається. Ця залежність називається спектром поглинання речовини.